РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 1066 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения, 6.2. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, 7.1. Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Тригонометрическая замена, Формулы кратных углов

Задания на 9 баллов

Найдите все корни уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2 x плюс 3 косинус x правая круглая скобка =0.$

Решение. Пусть $косинус x=t,$ $t больше 0,$ $t не равно 1,$ тогда $косинус 2x=2t в квадрате минус 1$ и уравнение примет вид:

$логарифм по основанию t левая круглая скобка 2t в квадрате плюс 3t минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 1=1 равносильно$
$равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $логарифм по основанию t левая круглая скобка 2t в квадрате плюс 3t минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 1=1 равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $логарифм по основанию t левая круглая скобка 2t в квадрате плюс 3t минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 1=1 равносильно$
$равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Вернёмся к исходной переменной:

$косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

1066

$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Методы алгебры: Тригонометрическая замена, Формулы кратных углов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1066	$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$