РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 1346 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Группировка, разложение на множители

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 12 x плюс 4 x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате плюс 23 x плюс 21 правая круглая скобка =4.$

Решение. Преобразуем уравнение:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3 x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 12 x плюс 4 x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 x в квадрате плюс 23 x плюс 21 правая круглая скобка =4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 2x правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка = 4.$

Для того, чтобы уравнение было определено, необходимо и достаточно выполнение условий:

$система выражений 3x плюс 7 больше 0,2x плюс 3 больше 0,3x плюс 7 не равно 1, 2x плюс 3 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ,x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , x не равно минус 2, x не равно минус 1. конец системы . равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1,x больше минус 1 конец совокупности .$ $система выражений 3x плюс 7 больше 0,2x плюс 3 больше 0,3x плюс 7 не равно 1, 2x плюс 3 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ,x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , x не равно минус 2, x не равно минус 1. конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше минус 1,x больше минус 1 конец совокупности .$

При этих условиях преобразуем уравнение дальше:

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 2x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка = 4 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 2x правая круглая скобка плюс 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка = 4 меньше равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс 2x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка = 3.$

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка ,$ тогда $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби$ и уравнение принимает вид:

$2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =3 равносильно 2t в квадрате плюс 1=3t равносильно$
$равносильно 2t в квадрате минус 3t плюс 1=0 равносильно совокупность выражений t=1,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной и разберём каждый случай.

Первый случай:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка =1 равносильно 3x плюс 7=2x плюс 3 равносильно x= минус 4.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 3x плюс 7=2x плюс 3 равносильно x= минус 4.$

Но этот корень не входит в ОДЗ, поэтому он нам не подходит.

Второй случай:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =3x плюс 7 равносильно$
$равносильно 4x в квадрате плюс 12x плюс 9=3x плюс 7 равносильно$
$равносильно 4x в квадрате плюс 9x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений x= минус 2,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =3x плюс 7 равносильно$
$равносильно 4x в квадрате плюс 12x плюс 9=3x плюс 7 равносильно$
$равносильно 4x в квадрате плюс 9x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений x= минус 2,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =3x плюс 7 равносильно$
$равносильно 4x в квадрате плюс 12x плюс 9=3x плюс 7 равносильно$
$равносильно 4x в квадрате плюс 9x плюс 2=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус 2,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Корень x  =  −2 не входит в ОДЗ и не подходит нам, а вот второй корень подходит.

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка .$

1346

$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Группировка, разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1346	$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка .$