РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 1386 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 4.7. Показательные уравнения других типов, 6.2. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Введение замены

Задания на 9 баллов

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

$левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка синус x плюс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка синус x=14.$ $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка синус x плюс$
$плюс левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка синус x=14.$

Решение. Заметим, что

$корень из: начало аргумента: 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка конец аргумента = корень из: начало аргумента: 49 минус 48 конец аргумента =1,$ $корень из: начало аргумента: 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 49 минус 48 конец аргумента =1,$

поэтому два слагаемых левой части взаимно обратны. Обозначим их временно t и $дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби ,$ получаем:

$t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =14 равносильно t в квадрате плюс 1=14t равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 14t плюс 1=0 равносильно t= дробь: числитель: 14\pm корень из: начало аргумента: 14 в квадрате минус 4 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно t= дробь: числитель: 14\pm 2 корень из: начало аргумента: 7 в квадрате минус 1 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно t = 7\pm 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =14 равносильно t в квадрате плюс 1=14t равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 14t плюс 1=0 равносильно$
$равносильно t= дробь: числитель: 14\pm корень из: начало аргумента: 14 в квадрате минус 4 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно t= дробь: числитель: 14\pm 2 корень из: начало аргумента: 7 в квадрате минус 1 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно t = 7\pm 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =14 равносильно t в квадрате плюс 1=14t равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 14t плюс 1=0 равносильно$
$равносильно t= дробь: числитель: 14\pm корень из: начало аргумента: 14 в квадрате минус 4 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно t= дробь: числитель: 14\pm 2 корень из: начало аргумента: 7 в квадрате минус 1 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно t = 7\pm 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Значит, либо:

Полученное уравнение имеет наибольший отрицательный корень, равный $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$ Либо:

$левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка синус x=7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac12 умножить на \tfrac1 правая круглая скобка синус x= левая круглая скобка 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби = минус 1 равносильно синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка синус x=7 минус 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \tfrac12 умножить на \tfrac1 правая круглая скобка синус x= левая круглая скобка 7 плюс 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби = минус 1 равносильно$
$равносильно синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Полученное уравнение имеет наибольший отрицательный корень, равный $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

1386

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1386	$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$