РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 150 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.13. Прочие прямые призмы, 3.16. Цилиндр, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии, Теорема косинусов

Задания на 10 баллов

Основание прямой призмы  — равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании $альфа .$ Диагональ боковой грани, содержащей боковую сторону треугольника, наклонена к плоскости основания под углом $бета .$ Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму.

Решение. Введём обозначения (см. рис.). Пусть AB  =  x, тогда по теореме косинусов в треугольнике ABC имеем

$x в квадрате =x в квадрате плюс a в квадрате минус 2 умножить на a умножить на x умножить на косинус альфа равносильно x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби .$ $x в квадрате =x в квадрате плюс a в квадрате минус 2 умножить на a умножить на x умножить на косинус альфа равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби .$

Используя формулы площади треугольника $S=pr$ и $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа b c$ получаем

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа умножить на a умножить на дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: a плюс 2 дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка r равносильно$

$равносильно синус альфа дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби = левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус альфа правая круглая скобка конец дроби r равносильно r= дробь: числитель: a синус альфа , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$ $равносильно синус альфа дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби = левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус альфа правая круглая скобка конец дроби r равносильно$
$равносильно r= дробь: числитель: a синус альфа , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Далее найдём высоту призмы, которая также является высотой цилиндра. В прямоугольном треугольнике CAA₁ $AA_1= тангенс бета AC,$ то есть $AA_1= тангенс бета умножить на дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби .$ Используя формулу площади боковой поверхности цилиндра имеем

$S= тангенс бета дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби умножить на 2 умножить на Пи умножить на дробь: числитель: a синус альфа , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате Пи тангенс альфа тангенс бета , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$ $S= тангенс бета дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби умножить на 2 умножить на Пи умножить на дробь: числитель: a синус альфа , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: a в квадрате Пи тангенс альфа тангенс бета , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$ $S=$
$= тангенс бета дробь: числитель: a, знаменатель: 2 косинус альфа конец дроби умножить на 2 умножить на Пи умножить на дробь: числитель: a синус альфа , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =$
$= дробь: числитель: a в квадрате Пи тангенс альфа тангенс бета , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: a в квадрате Пи тангенс альфа тангенс бета , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$

150

$дробь: числитель: a в квадрате Пи тангенс альфа тангенс бета , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Классификатор алгебры: 3.13. Прочие прямые призмы, 3.16. Цилиндр, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии, Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	150	$дробь: числитель: a в квадрате Пи тангенс альфа тангенс бета , знаменатель: 2 левая круглая скобка косинус альфа плюс 1 правая круглая скобка конец дроби .$