РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 169 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 9.7. Задачи на прогрессии

Задания на 9 баллов

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ,$ а сумма квадратов членов той же прогрессии равна $целая часть: 17, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 15 .$ Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение. Сумма членов исходной геометрической прогрессии с первым членом b и знаменателем q имеет следующий вид:

$S_1 = b плюс bq плюс bq в квадрате плюс bq в кубе плюс ...$

Тогда сумма квадратов этих членов имеет вид

$S_2 = b в квадрате плюс b в квадрате q в квадрате плюс b в квадрате q в степени 4 плюс b в квадрате q в степени 6 плюс ...$

и является суммой членов геометрической прогрессии с первым членом b² и знаменателем q². Поскольку обе прогрессии бесконечно убывающие, составим и решим систему уравнений, воспользовавшись формулой суммы членов бесконечной геометрической прогрессии:

$система выражений дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 1 минус q в квадрате конец дроби = целая часть: 17, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 15 , дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби = целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: b умножить на b, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс q правая круглая скобка конец дроби = целая часть: 17, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 15 , дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби = целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: 1 плюс q конец дроби = целая часть: 17, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 15 : целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 , дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби = целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 конец системы . равносильно$ $система выражений дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 1 минус q в квадрате конец дроби = целая часть: 17, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 15 , дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби = целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: b умножить на b, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс q правая круглая скобка конец дроби = целая часть: 17, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 15 , дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби = целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: 1 плюс q конец дроби = целая часть: 17, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 15 : целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 , дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби = целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: 1 плюс q конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1 минус q, знаменатель: 1 плюс q конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 5 минус 5q=3 плюс 3q, дробь: числитель: b, знаменатель: 1 минус q конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений q= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,b=4. конец системы .$

Ответ: $b=4,$ $q= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

169

$b=4,$ $q= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 9.7. Задачи на прогрессии

Методы алгебры: Сведение к системе

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	169	$b=4,$ $q= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$