РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 170 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел, 4.2. Объем многогранника

Задания на 10 баллов

Основанием конуса служит круг, вписанный в основание правильной треугольной призмы. Вершина конуса лежит на другом основании призмы. Найдите объем призмы, если объем конуса равен $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи$ см².

Решение. Пусть данные задачи изображены на рисунке (см. рис).

Высота конуса одновременно является высотой призмы, в которую он вписан. Радиус r окружности основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы (равносторонний треугольник). Выразим сторону AB основания призмы:

$AB = r : дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби = 2 корень из 3 r.$

Теперь выразим объёмы конуса и призмы:

$V_конуса = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби PO умножить на Пи r в квадрате ; V_призмы=PO умножить на S_ABC = PO умножить на дробь: числитель: корень из 3 умножить на AB в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби =PO умножить на 3 корень из 3 r в квадрате .$ $V_конуса = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби PO умножить на Пи r в квадрате ; V_призмы=$
$=PO умножить на S_ABC = PO умножить на дробь: числитель: корень из 3 умножить на AB в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби =PO умножить на 3 корень из 3 r в квадрате .$

Таким образом, объём призмы больше объёма конуса в $дробь: числитель: 9 корень из 3 , знаменатель: Пи конец дроби$ раз. Имеем:

$V_призмы = дробь: числитель: 9 корень из 3 , знаменатель: Пи конец дроби умножить на V_конуса = дробь: числитель: 9 корень из 3 , знаменатель: Пи конец дроби умножить на 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи = 54 см в кубе$

Ответ: 54 см³.

170

54 см³.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	170	54 см³.