РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 180 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.2. Правильная треугольная пирамида, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел, 4.2. Объем многогранника

Задания на 10 баллов

Основанием конуса служит круг, описанный около основания правильной треугольной призмы. Вершина конуса лежит на другом основании призмы. Найдите объем призмы, если объем конуса равен $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи$ см².

Решение. Пусть данные задачи изображены на рисунке (см. рис).

Высота конуса одновременно является высотой призмы. Радиус R окружности основания конуса равен радиусу окружности, описанной около основания призмы (равностороннего треугольника). Выразим сторону AB основания призмы:

$AB = R : дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 3 конец дроби = корень из 3 R.$

Теперь выразим объёмы конуса и призмы:

$V_конуса = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби PO умножить на Пи R в квадрате ; V_призмы=PO умножить на S_ABC = PO умножить на дробь: числитель: корень из 3 умножить на AB в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби =PO умножить на дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби R в квадрате .$ $V_конуса = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби PO умножить на Пи R в квадрате ; V_призмы=PO умножить на S_ABC =$
$= PO умножить на дробь: числитель: корень из 3 умножить на AB в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби =PO умножить на дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби R в квадрате .$

Таким образом, объём призмы больше объёма конуса в $дробь: числитель: 9 корень из 3 , знаменатель: 4 Пи конец дроби$ раз. Имеем:

$V_призмы = дробь: числитель: 9 корень из 3 , знаменатель: 4 Пи конец дроби умножить на V_конуса = дробь: числитель: 9 корень из 3 , знаменатель: 4 Пи конец дроби умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи = 27 см в кубе$

Ответ: 27 см³.

180

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	180	27