РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 19 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию, 5.11. Системы логарифмических уравнений

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата

Задания на 9 баллов

Решите систему уравнений $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 0,5 минус y правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 8 правая круглая скобка =1, логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка xy плюс x плюс 3y плюс 3 правая круглая скобка плюс 0,5 логарифм по основанию левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 6x плюс 9 правая круглая скобка =3. конец системы .$

Решение. Преобразуем выражение:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 0,5 минус y правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 8 правая круглая скобка =1, логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 0,5 логарифм по основанию левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =3. конец системы .$

Рассмотрим область определения:

$система выражений x плюс 3 не равно 1, y плюс 1 не равно 1, x плюс 3 больше 0,y плюс 1 больше 0, 3x плюс 8 больше 0, 0,5 минус y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби , x не равно минус 2, минус 1 меньше y меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , y не равно 0. конец системы .$

Тогда из второго уравнения исходной системы имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 0,5 логарифм по основанию левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =3 равносильно$

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка плюс 0,5 логарифм по основанию левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =3 равносильно$

$равносильно 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка |x плюс 3|=3 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =2.$

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка =t,$ тогда:

$t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =2 равносильно t в квадрате минус 2t плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t=1.$ $t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =2 равносильно t в квадрате минус 2t плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t=1.$

Имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка =1 равносильно x плюс 3=y плюс 1 равносильно x=y минус 2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно x плюс 3=y плюс 1 равносильно x=y минус 2.$

Подставим $y=x плюс 2$ в первое уравнение системы:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 0,5 минус x минус 2 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 8 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка минус 1,5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 8 правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно минус 3x в квадрате минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби x минус 12=x плюс 3 равносильно 6x в квадрате плюс 27x плюс 30=0 равносильно$
$равносильно 2x в квадрате плюс 9x плюс 10=0 равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,x= минус 2. конец совокупности .$ $равносильно минус 3x в квадрате минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби x минус 12=x плюс 3 равносильно$
$равносильно 6x в квадрате плюс 27x плюс 30=0 равносильно$
$равносильно 2x в квадрате плюс 9x плюс 10=0 равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,x= минус 2. конец совокупности .$ $равносильно минус 3x в квадрате минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби x минус 12=x плюс 3 равносильно$
$равносильно 6x в квадрате плюс 27x плюс 30=0 равносильно$
$равносильно 2x в квадрате плюс 9x плюс 10=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,x= минус 2. конец совокупности .$

Найденным значениям x соответствуют следующие значения y: $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0.$

По ОДЗ подходит только пара корней $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

$левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	19	$левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$