РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 229 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.8. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Группировка, разложение на множители, Метод интервалов

Задания на 9 баллов

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс 8x минус 4x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 4x плюс 4x в квадрате правая круглая скобка \leqslant4.$

Решение. Преобразуем выражение:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс 8x минус 4x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 4x плюс 4x в квадрате правая круглая скобка \leqslant4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка в квадрате \leqslant4 равносильно$
$равносильно 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка |1 плюс 2x|\leqslant4 \undersetx больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка конец дроби минус 3\leqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс 8x минус 4x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 4x плюс 4x в квадрате правая круглая скобка \leqslant4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка в квадрате \leqslant4 равносильно$
$равносильно 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка |1 плюс 2x|\leqslant4 \undersetx больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка конец дроби минус 3\leqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс 8x минус 4x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 4x плюс 4x в квадрате правая круглая скобка \leqslant4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка в квадрате \leqslant4 равносильно$
$равносильно 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка |1 плюс 2x|\leqslant4 \undersetx больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \mathop равносильно$
$\undersetx больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка конец дроби минус 3\leqslant0.$

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка ,$ тогда:

$t плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби минус 3 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 3t плюс 2, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0.$

С помощью метода интервалов получаем, что:

$совокупность выражений t меньше 0,1 меньше или равно t меньше или равно 2. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной и решим первое неравенство совокупности:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка меньше 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка 1 равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений 2x плюс 1 больше 1, 5 минус 2x больше 0,5 минус 2x меньше 1, конец системы . система выражений 0 меньше 2x плюс 1 меньше 1,5 минус 2x больше 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0, x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше 2, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x меньше 2 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше 2, конец системы . минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка меньше 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка 1 равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений 2x плюс 1 больше 1, 5 минус 2x больше 0,5 минус 2x меньше 1, конец системы . система выражений 0 меньше 2x плюс 1 меньше 1,5 минус 2x больше 1 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0, x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше 2, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x меньше 2 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше 2, конец системы . минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0. конец совокупности .$

Теперь решим второе неравенство совокупности:

$1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно совокупность выражений система выражений 2x плюс 1 больше 1,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x меньше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . система выражений 0 меньше 2x плюс 1 меньше 1,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x больше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x меньше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x больше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\leqslant0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1, минус 2 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . минус нет реш. конец совокупности . равносильно система выражений x больше 0,x\leqslant1, совокупность выражений x\leqslant минус 2,x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x меньше или равно 1. конец системы .$ $1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно совокупность выражений система выражений 2x плюс 1 больше 1,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x меньше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . система выражений 0 меньше 2x плюс 1 меньше 1,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x больше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x меньше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x больше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\leqslant0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1, минус 2 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . минус нет реш. конец совокупности . равносильно система выражений x больше 0,x\leqslant1, совокупность выражений x\leqslant минус 2,x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x меньше или равно 1. конец системы .$ $1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно совокупность выражений система выражений 2x плюс 1 больше 1,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x меньше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . система выражений 0 меньше 2x плюс 1 меньше 1,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x больше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x меньше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x больше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\leqslant0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1, минус 2 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . минус нет реш. конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0,x\leqslant1, совокупность выражений x\leqslant минус 2,x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x меньше или равно 1. конец системы .$ $1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений 2x плюс 1 больше 1,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x меньше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . система выражений 0 меньше 2x плюс 1 меньше 1,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x больше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x меньше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x больше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\leqslant0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1, минус 2 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . минус нет реш. конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0,x\leqslant1, совокупность выражений x\leqslant минус 2,x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x меньше или равно 1. конец системы .$ $1 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений 2x плюс 1 больше 1,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x меньше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . система выражений 0 меньше 2x плюс 1 меньше 1,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x больше или равно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,2x плюс 1 меньше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x меньше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,2x плюс 1 больше или равно 5 минус 2x,5 минус 2x больше или равно 4x в квадрате плюс 4x плюс 1 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\leqslant0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0,x\leqslant1,2x в квадрате плюс 3x минус 2\geqslant0, конец системы . система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 0,x\geqslant1, минус 2 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . минус нет реш. конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0,x\leqslant1, совокупность выражений x\leqslant минус 2,x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x меньше или равно 1. конец системы .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

229

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 5.8. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	229	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$