РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 247 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 4.8. Показательные неравенства других типов

Задания на 7 баллов

Найдите произведение наибольшего и наименьшего целых решений неравенства $левая круглая скобка 2 в степени x минус 31 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 26 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение. Найдем нули каждого из множителей и решим методом интервалов:

$2 в степени x =31 равносильно x= логарифм по основанию 2 31.$

$5 в степени x в степени п люс в степени 1 =26 равносильно 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 26 правая круглая скобка равносильно x= логарифм по основанию 5 26 минус 1.$

Заметим, что:

$логарифм по основанию 2 16 меньше логарифм по основанию 2 31 меньше логарифм по основанию 2 32 равносильно 4 меньше логарифм по основанию 2 31 меньше 5$ и $логарифм по основанию 5 25 минус 1 меньше логарифм по основанию 5 26 минус 1 меньше логарифм по основанию 5 125 минус 1 равносильно 1 меньше логарифм по основанию 5 26 минус 1 меньше 2.$

Тогда $логарифм по основанию 2 31 больше логарифм по основанию 5 26 минус 1.$ Учитывая все отношения между числами, методом интервалов получаем, что $логарифм по основанию 5 26 минус 1 меньше или равно x меньше или равно логарифм по основанию 2 31.$ Наименьшим и наибольшим целым решением неравенства являются числа 2 и 4 соответственно (см. изображение).

Итак, произведение этих чисел  — 8.

Ответ: 8.

247

Классификатор алгебры: 4.8. Показательные неравенства других типов

Методы алгебры: Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	247	8.