РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 269 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 15.5. Касательная к графику функции

Задания на 9 баллов

Найдите точку графика функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 3 конец дроби ,$ касательная в которой проходит через начало координат.

Решение. Касательная, проходящая через начало координат имеет функцию вида $y=kx.$ Приравняем правые части функций:

$дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 3 конец дроби =kx равносильно kx в квадрате плюс 3kx минус x минус 5=0 равносильно$
$равносильно kx в квадрате плюс левая круглая скобка 3k минус 1 правая круглая скобка x минус 5=0.$ $дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 3 конец дроби =kx равносильно$
$равносильно kx в квадрате плюс 3kx минус x минус 5=0 равносильно$
$равносильно kx в квадрате плюс левая круглая скобка 3k минус 1 правая круглая скобка x минус 5=0.$

Дискриминант полученного уравнения равен $левая круглая скобка 3k минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 20k=9k в квадрате минус 6k плюс 1 плюс 20k=9k в квадрате плюс 14k плюс 1.$ Решим квадратное уравнение относительно углового коэффициента, чтобы найти возможные уравнения касательных:

$9k в квадрате плюс 14k плюс 1=0 равносильно совокупность выражений k= дробь: числитель: минус 7 плюс корень из: начало аргумента: 49 минус 9 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби ,k= дробь: числитель: минус 7 минус корень из: начало аргумента: 49 минус 9 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений k= дробь: числитель: минус 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби ,k= дробь: числитель: минус 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби . конец совокупности .$ $9k в квадрате плюс 14k плюс 1=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений k= дробь: числитель: минус 7 плюс корень из: начало аргумента: 49 минус 9 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби ,k= дробь: числитель: минус 7 минус корень из: начало аргумента: 49 минус 9 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений k= дробь: числитель: минус 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби ,k= дробь: числитель: минус 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби . конец совокупности .$

Найдём абсциссы точек пересечения касательных и данного графика, а затем упростим их, домножив на сопряжённое знаменателю выражение:

$дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: минус 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби x равносильно$
$равносильно 9x плюс 45=x в квадрате левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 правая круглая скобка минус 21x плюс 6 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента x равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 правая круглая скобка x в квадрате минус x левая круглая скобка 30 минус 6 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка минус 45=0 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 15 минус 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 конец дроби равносильно x= минус 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$ $равносильно левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 правая круглая скобка x в квадрате минус x левая круглая скобка 30 минус 6 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка минус 45=0 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 15 минус 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 конец дроби равносильно$
$равносильно x= минус 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$

$дробь: числитель: x плюс 5, знаменатель: x плюс 3 конец дроби = дробь: числитель: минус 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби x равносильно$
$равносильно 9x плюс 45=x в квадрате левая круглая скобка минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 правая круглая скобка минус 21x минус 6 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента x равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 правая круглая скобка x в квадрате минус x левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента плюс 30 правая круглая скобка минус 45=0 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента плюс 15, знаменатель: минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 конец дроби = минус 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Подставим найденные значения в уравнения касательных, чтобы найти значения ординат:

$y= левая круглая скобка минус 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 35 плюс 10 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 20, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $y= левая круглая скобка минус 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 35 плюс 10 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 20, знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $y=$
$= левая круглая скобка минус 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус 7 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 35 плюс 10 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 20, знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби ,$

$y= левая круглая скобка минус 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 35 плюс 10 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 20, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ $y= левая круглая скобка минус 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 35 плюс 10 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 20, знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ $y=$
$= левая круглая скобка минус 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: минус 7 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 35 плюс 10 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 7 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента минус 20, знаменатель: 9 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

269

$левая круглая скобка минус 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 15.5. Касательная к графику функции

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	269	$левая круглая скобка минус 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 5 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 5 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$