РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 299 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.1. Уравнения первой и второй степени относительно логарифмических функций

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Метод интервалов , Метод рационализации

Задания на 9 баллов

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 9 минус 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 9x в квадрате минус 24x плюс 16 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка \geqslant0.$

Решение. Найдём область допустимых значений неравенства:

$система выражений 9x в квадрате минус 24x плюс 16 больше 0,x в квадрате плюс x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений x не равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , совокупность выражений x меньше минус 2,x больше 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 2,1 меньше x меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,x больше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Заметим, что $9 минус 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента = левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в квадрате ,$ а $корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 2= левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$ тогда исходное неравенство равносильно следующему:

$логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка |3x минус 4| минус логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0$ $логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка |3x минус 4| минус логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0$

Применим теорему о знаке логарифма:

$логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка |3x минус 4| минус логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0\undersetО. Д. З.\mathop равносильно \;\; левая круглая скобка |3x минус 4| минус левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0\underset корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 3 меньше 0\mathop равносильно$ $логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка |3x минус 4| минус логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0\undersetО. Д. З.\mathop равносильно$
$\undersetО. Д. З.\mathop равносильно \;\; левая круглая скобка |3x минус 4| минус левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 2 минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0\underset корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 3 меньше 0\mathop равносильно$

$\underset корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 3 меньше 0\mathop равносильно \;\;|3x минус 4| меньше или равно x в квадрате плюс x минус 2 равносильно совокупность выражений 3x минус 4 меньше или равно x в квадрате плюс x минус 2,x больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,4 минус 3x меньше или равно x в квадрате плюс x минус 2, x меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности .$

Так как первое предложение совокупности верно при всех $x больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,$ то последняя совокупность равносильна следующему неравенству:

$x в квадрате плюс 4x минус 6 больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше минус 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,x больше минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента конец совокупности .$

Наконец учтём О. Д. З. и получим:

$система выражений совокупность выражений x меньше минус 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,x больше минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , конец системы .x не равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

299

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 5.1. Уравнения первой и второй степени относительно логарифмических функций

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Метод интервалов , Метод рационализации

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	299	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$