РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 419 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 6.10. Уравнения на введение вспомогательного угла

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Замена t = A sin x + B cos x, Формулы кратных углов

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $7 плюс синус 2x=7 синус x плюс 7 косинус x.$

Решение. Упростим:

$7 плюс синус 2x=7 синус x плюс 7 косинус x равносильно$
$равносильно 7 плюс 2 синус x косинус x=7 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка .$

Пусть $синус x плюс косинус x=t,$ тогда:

$левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате =t в квадрате равносильно синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x=t в квадрате равносильно$ $левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате =t в квадрате равносильно$
$равносильно синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x=t в квадрате равносильно$

$равносильно 1 плюс 2 синус x косинус x=t в квадрате равносильно 2 синус x косинус x=t в квадрате минус 1.$ $равносильно 1 плюс 2 синус x косинус x=t в квадрате равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x=t в квадрате минус 1.$

Имеем:

$7 плюс t в квадрате минус 1=7t равносильно t в квадрате минус 7t плюс 6=0 равносильно совокупность выражений t=6,t=1. конец совокупности .$ $7 плюс t в квадрате минус 1=7t равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 7t плюс 6=0 равносильно совокупность выражений t=6,t=1. конец совокупности .$

Откуда

$совокупность выражений синус x плюс косинус x=6, синус x плюс косинус x=1. конец совокупности .$

Заметим, что первое уравнение не имеет решений, решим второе:

$синус x плюс косинус x=1 равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности$ $синус x плюс косинус x=1 равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности$ $синус x плюс косинус x=1 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности$

Ответ: $левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

419

$левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 6.10. Уравнения на введение вспомогательного угла

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Замена t = A sin x + B cos x, Формулы кратных углов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	419	$левая фигурная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$