РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 489 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения, 6.2. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, 7.1. Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Решение. Упростим :

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка косинус x плюс логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x= корень из: начало аргумента: 3 косинус x конец аргумента , синус x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений 2 синус в квадрате x=3 косинус x, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$ $равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x= корень из: начало аргумента: 3 косинус x конец аргумента , синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 синус в квадрате x=3 косинус x, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 2 минус 2 косинус в квадрате x=3 косинус x, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x плюс 3 косинус x минус 2=0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x= минус 2, косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . синус x меньше 0. конец совокупности .$ $равносильно система выражений 2 минус 2 косинус в квадрате x=3 косинус x, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 косинус в квадрате x плюс 3 косинус x минус 2=0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений косинус x= минус 2, косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . синус x меньше 0. конец совокупности .$

Заметим, что $косинус x= минус 2$ не имеет решений. Тогда :

$система выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x меньше 0 конец системы . равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

Ответ: $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

489

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	489	$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$