РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 497 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.3. Квадратные уравнения, 5.1. Уравнения первой и второй степени относительно логарифмических функций, 7.3. Системы смешанного типа

Задания на 7 баллов

Решите систему уравнений $система выражений x в квадрате минус 2x=4 минус 4y,2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка =1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y правая круглая скобка . конец системы .$

Решение. Решим вначале второе уравнение системы:

$2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка =1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс log_22y= логарифм по основанию 2 2,x меньше 1,y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2y левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате =2,x меньше 1,y больше 0 конец системы . равносильно система выражений y левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка =1,x меньше 1,y больше 0. конец системы .$ $2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка =1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс log_22y= логарифм по основанию 2 2,x меньше 1,y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2y левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате =2,x меньше 1,y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круглая скобка =1,x меньше 1,y больше 0. конец системы .$

Приведем замену $x в квадрате минус 2x=4 минус 4y$ из первого уравнения системы и решим уравнение на $y:$

$y левая круглая скобка 5 минус 4y правая круглая скобка =1\undersety больше 0\mathop равносильно 4y в квадрате минус 5y плюс 1=0\undersety больше 0\mathop равносильно совокупность выражений y=1,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $y левая круглая скобка 5 минус 4y правая круглая скобка =1\undersety больше 0\mathop равносильно$
$\undersety больше 0\mathop равносильно 4y в квадрате минус 5y плюс 1=0\undersety больше 0\mathop равносильно совокупность выражений y=1,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $y левая круглая скобка 5 минус 4y правая круглая скобка =1\undersety больше 0\mathop равносильно$
$\undersety больше 0\mathop равносильно 4y в квадрате минус 5y плюс 1=0\undersety больше 0\mathop равносильно$
$\undersety больше 0\mathop равносильно совокупность выражений y=1,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Теперь вернемся к системе. Имеем:

$система выражений x в квадрате минус 2x=4 минус 4y,x меньше 1, совокупность выражений y=1,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений y=1,x в квадрате минус 2x=0, конец системы . система выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x в квадрате минус 2x=3 конец системы . конец совокупности . \undersetx меньше 1\mathop равносильно совокупность выражений система выражений y=1,x=0, конец системы . система выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x= минус 1. конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x в квадрате минус 2x=4 минус 4y,x меньше 1, совокупность выражений y=1,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений y=1,x в квадрате минус 2x=0, конец системы . система выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x в квадрате минус 2x=3 конец системы . конец совокупности . \undersetx меньше 1\mathop равносильно совокупность выражений система выражений y=1,x=0, конец системы . система выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x= минус 1. конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x в квадрате минус 2x=4 минус 4y,x меньше 1, совокупность выражений y=1,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений y=1,x в квадрате минус 2x=0, конец системы . система выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x в квадрате минус 2x=3 конец системы . конец совокупности . \undersetx меньше 1\mathop равносильно$
$\undersetx меньше 1\mathop равносильно совокупность выражений система выражений y=1,x=0, конец системы . система выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x= минус 1. конец системы . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

497

$левая фигурная скобка левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	497	$левая фигурная скобка левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$