РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 539 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Группировка, разложение на множители

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 12x плюс 4x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x в квадрате плюс 23x плюс 21 правая круглая скобка =4.$

Решение. Упростим:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 12x плюс 4x в квадрате правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x в квадрате плюс 23x плюс 21 правая круглая скобка =4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка =4 равносильно$

$равносильно система выражений 2x плюс 3 больше 0,2x плюс 3 не равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка =4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2x плюс 3 больше 0,2x плюс 3 не равно 1, 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка минус 3 = 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 2x плюс 3 больше 0,2x плюс 3 не равно 1, 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби минус 3 = 0. конец системы .$

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = t,t не равно 0,$ тогда последнее уравнение системы имеет вид:

$2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби минус 3 =0 равносильно 2t в квадрате минус 3t плюс 1 = 0 равносильно совокупность выражений t = 1,t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби минус 3 =0 равносильно$
$равносильно 2t в квадрате минус 3t плюс 1 = 0 равносильно совокупность выражений t = 1,t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$система выражений 2x плюс 3 больше 0,2x плюс 3 не равно 1, совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно минус 1, 3x плюс 7 больше 0, 3x плюс 7 не равно 1, совокупность выражений 3x плюс 7 = 2x плюс 3, левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = 3x плюс 7 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно минус 1, x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , x не равно минус 2, совокупность выражений x = минус 4,x = минус 2, x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $система выражений 2x плюс 3 больше 0,2x плюс 3 не равно 1, совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно минус 1, 3x плюс 7 больше 0, 3x плюс 7 не равно 1, совокупность выражений 3x плюс 7 = 2x плюс 3, левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = 3x плюс 7 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно минус 1, x больше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , x не равно минус 2, совокупность выражений x = минус 4,x = минус 2, x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

539

$x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Группировка, разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	539	$x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$