РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 549 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Группировка, разложение на множители

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 6x в квадрате минус 5x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 4x плюс 1 правая круглая скобка =2.$

Решение. Упростим:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 6x в квадрате минус 5x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 4x плюс 1 правая круглая скобка =2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка в квадрате =2 равносильно$

$равносильно система выражений 2x плюс 3 больше 0,2x плюс 3 не равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка в квадрате =2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2x плюс 3 больше 0,2x плюс 3 не равно 1, 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка = 2 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 1 минус 2x больше 0,1 минус 2x не равно 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка минус 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка конец дроби = 1. конец системы .$

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка = t,t не равно 0,$ тогда последнее уравнение системы имеет вид:

$t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби минус 1 =0 равносильно t в квадрате минус t минус 2 = 0 равносильно совокупность выражений t = минус 1,t = 2. конец совокупности .$ $t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби минус 1 =0 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус t минус 2 = 0 равносильно совокупность выражений t = минус 1,t = 2. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$система выражений 1 минус 2x больше 0, 1 минус 2x не равно 1, 1 минус 3x больше 0,1 минус 3x не равно 1, совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка = минус 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка =2 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x не равно 0, x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , совокупность выражений 1 минус 3x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 2x конец дроби ,1 минус 3x = левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , x не равно 0, совокупность выражений x = 0,x = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби , x = 0, x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $система выражений 1 минус 2x больше 0, 1 минус 2x не равно 1, 1 минус 3x больше 0,1 минус 3x не равно 1, совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка = минус 1, логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка =2 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x не равно 0, x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , совокупность выражений 1 минус 3x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 2x конец дроби ,1 минус 3x = левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , x не равно 0, совокупность выражений x = 0,x = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби , x = 0, x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

549

$x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Группировка, разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	549	$x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$