РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 658 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции , 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции, 15.8. Применение производной к исследованию функции

Задания на 8 баллов

Найдите точки минимума и точки максимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3 плюс 2x в квадрате , знаменатель: 1 минус x конец дроби .$

Решение. Зададим область определения функции: $D левая круглая скобка f правая круглая скобка = левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Найдем $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка :$

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ' левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 4x минус 4x в квадрате плюс 3 плюс 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 2x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ' левая круглая скобка 3 плюс 2x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4x минус 4x в квадрате плюс 3 плюс 2x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус 2x в квадрате плюс 4x плюс 3, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

Решим уравнение $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 0:$

$минус 2x в квадрате плюс 4x плюс 3 = 0 равносильно 2x в квадрате минус 4x минус 3 = 0 равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x = дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Применим метод интервалов (см. рис.).

Таким образом, получаем, что $x_min = дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2,$ $x_max = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2.$

Ответ: $x_min = дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2,$ $x_max = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2.$

658

$x_min = дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2,$ $x_max = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2.$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658	$x_min = дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2,$ $x_max = дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2.$