РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 668 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции , 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции, 15.8. Применение производной к исследованию функции

Задания на 8 баллов

Найдите точки минимума и точки максимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 4 минус x в квадрате , знаменатель: x плюс 3 конец дроби .$

Решение. Зададим область определения функции: $D левая круглая скобка f правая круглая скобка = левая круглая скобка минус бесконечность ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Найдем $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка :$

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ' левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 2x в квадрате минус 6x минус 4 плюс x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус x в квадрате минус 6x минус 4, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ' левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 2x в квадрате минус 6x минус 4 плюс x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: минус x в квадрате минус 6x минус 4, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ' левая круглая скобка 4 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус 2x в квадрате минус 6x минус 4 плюс x в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус x в квадрате минус 6x минус 4, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .$

Решим уравнение $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 0:$

$минус x в квадрате минус 6x минус 4 = 0 равносильно x в квадрате плюс 6x плюс 4 = 0 равносильно совокупность выражений x = минус 3 минус корень из 5 ,x = минус 3 плюс корень из 5 . конец совокупности .$ $минус x в квадрате минус 6x минус 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 6x плюс 4 = 0 равносильно совокупность выражений x = минус 3 минус корень из 5 ,x = минус 3 плюс корень из 5 . конец совокупности .$ $минус x в квадрате минус 6x минус 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 6x плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус 3 минус корень из 5 ,x = минус 3 плюс корень из 5 . конец совокупности .$

Применим метод интервалов (см. рис.).

Таким образом, получаем, что $x_min = минус 3 минус корень из 5 ,$ $x_max = минус 3 плюс корень из 5 .$

Ответ: $x_min = минус 3 минус корень из 5 ,$ $x_max = минус 3 плюс корень из 5 .$

668

$x_min = минус 3 минус корень из 5 ,$ $x_max = минус 3 плюс корень из 5 .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	668	$x_min = минус 3 минус корень из 5 ,$ $x_max = минус 3 плюс корень из 5 .$