РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 669 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Группировка, разложение на множители

Задания на 9 баллов

Решите неравенство $\log в квадрате _3x плюс 2\log в квадрате _3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка \leqslant3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x.$

Решение. Пусть $a = логарифм по основанию 3 x,$ $b = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка .$ Имеем:

$a в квадрате плюс 2b в квадрате меньше или равно 3ab равносильно a в квадрате минус 3ab плюс 2b в квадрате меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2b правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $a в квадрате плюс 2b в квадрате меньше или равно 3ab равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 3ab плюс 2b в квадрате меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2b правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Таким образом, возвращаясь к исходной переменной, получаем неравенство

$левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 5x минус 6} правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка } правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Выражения $логарифм по основанию 3 x$ и $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка$ определены при положительных x. Найдем корни уравнения

$левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка } правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка } правая круглая скобка = 0$

и применим метод интервалов:

$система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 x = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка в квадрате , конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,25x в квадрате минус 61x плюс 36 = 0, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 25 ,x = 1, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 25 . конец совокупности .$ $система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 3 x = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка , логарифм по основанию 3 x = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус 6 правая круглая скобка в квадрате , конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,25x в квадрате минус 61x плюс 36 = 0, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 25 ,x = 1, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 25 . конец совокупности .$

Получаем, что $x принадлежит левая квадратная скобка целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 25 ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 25 ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

669

$левая квадратная скобка целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 25 ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Группировка, разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	669	$левая квадратная скобка целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 25 ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$