РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 679 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.12. Системы логарифмических неравенств

Задания на 9 баллов

Решите систему уравнений $система выражений \lg5 умножить на \lg левая круглая скобка 5x правая круглая скобка =\lg7 умножить на \lg левая круглая скобка 7y правая круглая скобка , десятичный логарифм x умножить на \lg7= десятичный логарифм y умножить на \lg5. конец системы .$

Решение. Пусть $десятичный логарифм x=a, десятичный логарифм y=b.$ Воспользуемся свойствами логарифма:

$система выражений \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс правая круглая скобка =\lg7 умножить на левая круглая скобка \lg7 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно система выражений \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби правая круглая скобка = \lg7 умножить на левая круглая скобка \lg7 плюс b правая круглая скобка , a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно$ $система выражений \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс правая круглая скобка =\lg7 умножить на левая круглая скобка \lg7 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби правая круглая скобка = \lg7 умножить на левая круглая скобка \lg7 плюс b правая круглая скобка , a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений \lg5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: десятичный логарифм 5 умножить на десятичный логарифм 7 плюс b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби правая круглая скобка =\lg7 умножить на левая круглая скобка \lg7 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg в квадрате 5 минус \lg в квадрате 7 плюс \lg5 умножить на дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби минус \lg7 умножить на левая круглая скобка \lg7 плюс b правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений \lg в квадрате 5 минус \lg в квадрате 7 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg в квадрате 5 минус \lg в квадрате 7, знаменатель: \lg7 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка \lg в квадрате 5 минус \lg в квадрате 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg7 конец дроби правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно$ $равносильно система выражений \lg в квадрате 5 минус \lg в квадрате 7 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg в квадрате 5 минус \lg в квадрате 7, знаменатель: \lg7 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка \lg в квадрате 5 минус \lg в квадрате 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg7 конец дроби правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg7 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: \lg7 конец дроби = минус 1,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . \underset\lg7 не равно 0\mathop равносильно система выражений b= минус \lg7,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно система выражений b= минус \lg7,a= минус \lg5. конец системы .$ $равносильно система выражений 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg7 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: \lg7 конец дроби = минус 1,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . \underset\lg7 не равно 0\mathop равносильно$
$\underset\lg7 не равно 0\mathop равносильно система выражений b= минус \lg7,a= дробь: числитель: b умножить на \lg5 , знаменатель: \lg7 конец дроби конец системы . равносильно система выражений b= минус \lg7,a= минус \lg5. конец системы .$

Вернемся к исходной переменной:

$система выражений десятичный логарифм x= минус \lg5, десятичный логарифм y= минус \lg7 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби . конец системы .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

679

$левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.12. Системы логарифмических неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	679	$левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$