РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 689 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.12. Системы логарифмических неравенств

Задания на 9 баллов

Решите систему уравнений $система выражений \lg2 умножить на \lg левая круглая скобка 2x правая круглая скобка =\lg5 умножить на \lg левая круглая скобка 5y правая круглая скобка , десятичный логарифм x умножить на \lg5= десятичный логарифм y умножить на \lg2. конец системы .$

Решение. Пусть $десятичный логарифм x=a, десятичный логарифм y=b.$ Тогда воспользуемся свойствами логарифма и получим:

$система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка = \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка , a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: десятичный логарифм 2 умножить на десятичный логарифм 5 плюс b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс \lg2 умножить на дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби минус \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на десятичный логарифм , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби = минус 1,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . \underset\lg5 не равно 0\mathop равносильно система выражений b= минус \lg5,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений b= минус \lg5,a= минус \lg2. конец системы .$ $система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка = \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка , a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: десятичный логарифм 2 умножить на десятичный логарифм 5 плюс b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс \lg2 умножить на дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби минус \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на десятичный логарифм , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби = минус 1,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . \underset\lg5 не равно 0\mathop равносильно система выражений b= минус \lg5,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений b= минус \lg5,a= минус \lg2. конец системы .$ $система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка = \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка , a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: десятичный логарифм 2 умножить на десятичный логарифм 5 плюс b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс \lg2 умножить на дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби минус \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на десятичный логарифм , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби = минус 1,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . \underset\lg5 не равно 0\mathop равносильно система выражений b= минус \lg5,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений b= минус \lg5,a= минус \lg2. конец системы .$ $система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка = \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка , a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: десятичный логарифм 2 умножить на десятичный логарифм 5 плюс b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс \lg2 умножить на дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби минус \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на десятичный логарифм , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби = минус 1,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . \underset\lg5 не равно 0\mathop равносильно$
$\underset\lg5 не равно 0\mathop равносильно система выражений b= минус \lg5,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений b= минус \lg5,a= минус \lg2. конец системы .$

Вернемся к исходной переменной:

$система выражений десятичный логарифм x= минус \lg2, десятичный логарифм y= минус \lg7 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

689

$левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.12. Системы логарифмических неравенств

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	689	$левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$