РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 79 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции , 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции

Задания на 9 баллов

Для функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в квадрате левая круглая скобка 2x плюс 0,5 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ найдите промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы функции (если они существуют).

Решение. Найдем производную функции:

$g' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x в квадрате левая круглая скобка 2x плюс 0,5 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус 2x в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '= минус 6x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ $g' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x в квадрате левая круглая скобка 2x плюс 0,5 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус 2x в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= минус 6x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ $g' левая круглая скобка x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка минус x в квадрате левая круглая скобка 2x плюс 0,5 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= левая круглая скобка минус 2x в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка '=$
$= минус 6x в квадрате минус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Решим уравнение g '(x) = 0:

$минус 18x в квадрате минус 3x плюс 1=0 равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби . конец совокупности .$

Функция g(x) возрастает на $x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;\; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка ;$ убывает на $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка$ и на $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Точка минимума: $x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ точка максимума: $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби$

Найдем максимума и минимума функции:

$g_max=g левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = минус 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 115, знаменатель: 216 конец дроби .$ $g_max=g левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =$
$= минус 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 115, знаменатель: 216 конец дроби .$ $g_max=g левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =$
$= минус 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 115, знаменатель: 216 конец дроби .$

$g_min=g левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 2 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 11, знаменатель: 27 конец дроби .$ $g_min=g левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$= минус 2 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 11, знаменатель: 27 конец дроби .$ $g_min=g левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$= минус 2 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 11, знаменатель: 27 конец дроби .$

Ответ: промежуток возрастания: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка ;$ промежутки убывания: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ; левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ максимум функции: $дробь: числитель: 115, знаменатель: 216 конец дроби ;$ минимум функции: $дробь: числитель: 11, знаменатель: 27 конец дроби .$

промежуток возрастания: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка ;$ промежутки убывания: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ; левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ максимум функции: $дробь: числитель: 115, знаменатель: 216 конец дроби ;$ минимум функции: $дробь: числитель: 11, знаменатель: 27 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции , 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	79	промежуток возрастания: $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка ;$ промежутки убывания: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ; левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$ максимум функции: $дробь: числитель: 115, знаменатель: 216 конец дроби ;$ минимум функции: $дробь: числитель: 11, знаменатель: 27 конец дроби .$