РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 806 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.4. Угол между прямой и плоскостью, 3.6. Неправильные пирамиды, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел

Задания на 9 баллов

Конус описан около пирамиды, основанием которой является трапеция, три стороны которой равны 3 см, а один из углов 60°. Объем конуса равен $9 Пи см в кубе .$ Найдите угол наклона боковых ребер пирамиды к плоскости основания.

Решение. Рассмотрим для начала основание пирамиды  — трапецию ABCD. Она равнобедренная, поэтому углы при ее основании равны. Опустим перпендикуляры BH и CK на основание AD. Тогда в треугольнике ABH получаем

$AH=AB косинус 60 градусов =3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1,5.$

Аналогично,

$KD=1,5$ и $AD=AH плюс HK плюс KD=1,5 плюс BC плюс 1,5=3 плюс 3=6.$

Отметим середину O большего основания AD. Тогда треугольник ABO равнобедренный, поскольку его высота BH совпадает с медианой. Значит, $OB=BA=3.$ Аналогично, $CO=3.$ Поэтому все вершины трапеции лежат на окружности радиуса 3 с центром в точке O. Значит, это и есть окружность основания конуса. Обозначим его высоту за h, тогда по условию

$9 Пи =V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби h умножить на 3 в квадрате Пи ,$

откуда $h=3.$

Пусть T  — вершина конуса, тогда в прямоугольном треугольнике TOA получаем $TO=OA,$ откуда $\angle TAO=45 градусов .$ Поскольку проекцией ребра TA на плоскость служит отрезок OA, это и есть угол наклона ребра к плоскости основания.

Ясно, что для остальных ребер треугольники получатся такими же. Поэтому у всех ребер наклон одинаковый.

Ответ: 45°.

806

45°.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	806	45°.