РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 817 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения

Задания на 10 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x правая круглая скобка = логарифм по основанию 6 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 7 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента минус x правая круглая скобка .$

Решение. Заметим сразу, что

$левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка минус x в квадрате =1.$ $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента минус x правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка минус x в квадрате =1.$

Пусть $t = корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x,$ тогда:

$логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 7 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка логарифм по основанию 7 t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка логарифм по основанию 7 t правая круглая скобка равносильно 2 логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t=0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t=0 равносильно логарифм по основанию 7 t=1 равносильно t=7.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 7 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка логарифм по основанию 7 t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка логарифм по основанию 7 t правая круглая скобка равносильно 2 логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t=0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t=0 равносильно логарифм по основанию 7 t=1 равносильно t=7.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 7 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка логарифм по основанию 7 t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка логарифм по основанию 7 t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t=0 равносильно логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t=0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 7 t=1 равносильно t=7.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 7 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус логарифм по основанию 7 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка логарифм по основанию 7 t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t= логарифм по основанию 6 левая круглая скобка логарифм по основанию 7 t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t=0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 6 логарифм по основанию 7 t=0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 7 t=1 равносильно t=7.$

Вернёмся к исходной переменной:

$корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x=7 равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента =7 минус x равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 1=49 минус 14x плюс x в квадрате равносильно 14x=48 равносильно x= дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби .$ $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x=7 равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента =7 минус x равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 1=49 минус 14x плюс x в квадрате равносильно$
$равносильно 14x=48 равносильно x= дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби .$ $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x=7 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента =7 минус x равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 1=49 минус 14x плюс x в квадрате равносильно$
$равносильно 14x=48 равносильно x= дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби .$

Ясно, что такой x не является посторонним корнем для уравнения $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 1 конец аргумента плюс x=7,$ а $t=7$ не был посторонним для изначального уравнения.

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби правая фигурная скобка .$

817

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	817	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби правая фигурная скобка .$