Ре­ше­ние. Пусть ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, M и M₁  — цен­тры ее ос­но­ва­ний, O  — се­ре­ди­на от­рез­ка По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки MOA, MOB, ... MOC₁ равны по двум ка­те­там, точка O рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин приз­мы и по­то­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром опи­сан­но­го шара.

Обо­зна­чим длину ребра ос­но­ва­ния приз­мы за 6x, тогда вы­со­та в ос­но­ва­нии равна а Кроме того, вер­ти­каль­ное ребро приз­мы имеет длину зна­чит,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка OM₁C1 по­лу­ча­ем, что ра­ди­ус шара

Наи­мень­шее зна­че­ние под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при (вер­ши­на па­ра­бо­лы). При нем же до­сти­га­ет­ся и наи­мень­шее зна­че­ние корня.

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой приз­мы равна

Ответ: