РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 9 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию, 5.11. Системы логарифмических уравнений

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата

Задания на 9 баллов

Решите систему уравнений $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка =2, логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y в квадрате минус 2y плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 1 правая круглая скобка =4. конец системы .$

Решение. Преобразуем выражение:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2y плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка =2, логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =4. конец системы .$

Рассмотрим область определения:

$система выражений x плюс 1 не равно 1, 1 минус y не равно 1, 2y плюс 1 больше 0,2x плюс 1 больше 0, x плюс 1 больше 0, 1 минус y больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x не равно 0, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше y меньше 1, y не равно 0. конец системы .$

Тогда из второго уравнения исходной системы имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =4 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка |y минус 1| плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка |x плюс 1|=4 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка конец дроби =2.$

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка =t,$ тогда:

$t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =2 равносильно t в квадрате минус 2t плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t=1.$ $t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби =2 равносильно t в квадрате минус 2t плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t=1.$

Имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка =1 равносильно x плюс 1=1 минус y равносильно x= минус y.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно x плюс 1=1 минус y равносильно x= минус y.$

Подставим $y= минус x$ в первое уравнение системы:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка минус 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате равносильно$

$минус 4x в квадрате плюс 1= левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате равносильно 5x в квадрате плюс 2x=0 равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,x=0. конец совокупности .$ $минус 4x в квадрате плюс 1= левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 5x в квадрате плюс 2x=0 равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,x=0. конец совокупности .$

Найденным значениям x соответствуют следующие значения y: $дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ; 0.$

По ОДЗ подходит только пара корней $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

$левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	9	$левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$