РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 936 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения, 6.2. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, 7.1. Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Решение. Преобразуем уравнение, сразу отметив, что $синус x меньше 0$ и $косинус x больше 0:$

$дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 2 конец дроби минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 4 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка , знаменатель: 1/2 конец дроби минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 1/2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 4 4=2 логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 4 конец аргумента = логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 2= логарифм по основанию 4 3 плюс логарифм по основанию 4 косинус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 3 косинус x равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x=3 косинус x равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка =3 косинус x$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 2 конец дроби минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 4 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка , знаменатель: 1/2 конец дроби минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 1/2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 4 4=2 логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 4 конец аргумента = логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 2= логарифм по основанию 4 3 плюс логарифм по основанию 4 косинус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 3 косинус x равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x=3 косинус x равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка =3 косинус x$

Пусть $t= косинус x, t больше 0$ тогда решим квадратное уравнение

$2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка =3t равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ $2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка =3t равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ $2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка =3t равносильно$
$равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Имеем: $косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset синус x меньше 0\mathop равносильно$
$\underset синус x меньше 0\mathop равносильно равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

936

$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	936	$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$