РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 996 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители, Метод рационализации

Задания на 9 баллов

Решите неравенство $логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5 x плюс 6 правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x.$

Решение. Заметим, что неравенство определено при $x больше 0.$ Перенесем все в одну часть, разложим на множители и воспользуемся методом рационализации. Тогда:

$логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5x плюс 6 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 6 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 5x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 6 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 6 правая круглая скобка больше или равно 0.$ $логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5x плюс 6 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 6 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 5x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 6 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 6 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Сокращая на положительные множители, получаем: $x минус 6 больше или равно 0,$ то есть $x больше или равно 6.$

Ответ: $левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

996

$левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители, Метод рационализации

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	996	$левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$