Ре­ше­ние. По смыс­лу за­да­чи по­нят­но, что m<0, тогда при вне­се­нии мно­жи­те­ля под знак корня учтем, что перед кор­нем дол­жен остать­ся знак ми­ну­са. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

Зна­чит, пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Ответ: б).

Ре­ше­ние. Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г), так как точка B при­над­ле­жит и шару, и плос­ко­сти.

Ответ: г).

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние, вы­ра­зив ра­ди­ка­лы в виде сте­пе­ней:

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды можно найти по фор­му­ле от­ку­да Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SBH. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Про­ведём SS₁  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды SABCD. Из со­от­но­ше­ния сто­ро­ны квад­ра­та и её диа­го­на­ли: Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SS₁B найдём SS₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Итак, объём равен:

Ответ: 384 см².

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть BB₁D₁D  — мень­шее диа­го­наль­ное се­че­ние, тогда, так как диа­го­наль об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол в 45°, а ис­ход­ный па­рал­ле­ле­пи­пед пря­мой, BB₁D₁D  — квад­рат. Сле­до­ва­тель­но, бо­ко­вые рёбра па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны корню из 6. За­ме­тим, что пло­щадь боль­ше­го из се­че­ний равна про­из­ве­де­нию боль­шей диа­го­на­ли ос­но­ва­ния на бо­ко­вое ребро, от­ку­да В ос­но­ва­нии па­рал­ле­ло­грам­ма лежит ромб, тогда диа­го­на­ли ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­ны. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра то есть

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна сумме двух пло­ща­дей ос­но­ва­ния и четырёх пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней, в нашем слу­чае:

Ответ: 28.

Ре­ше­ние. Для опре­де­лен­но­сти функ­ции тре­бу­ет­ся вы­пол­не­ние трех усло­вий:

Ответ:

Ре­ше­ние. До­мно­жим на три­го­но­мет­ри­че­скую еди­ни­цу:

За­ме­тим, что при до­мно­же­нии на корни не по­те­ря­ны.

Из гра­фи­ка видно, что на про­ме­жут­ке ис­ход­ное урав­не­ние имеет 5 кор­ней.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Тож­де­ствен­но по­лу­ча­ем

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть O  — се­ре­ди­на от­рез­ка BK. Тогда PO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BDK, по­это­му PO па­рал­лель­на DK и, сле­до­ва­тель­но, DK па­рал­лель­на плос­ко­сти PCO, по­это­му PCO  — одна из рас­смат­ри­ва­е­мых плос­ко­стей. Пусть пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке T, тогда PCT  — се­че­ние пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABK и пря­мой TOC по­лу­ча­ем:

Пусть Z  — се­ре­ди­на AT, тогда и тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые PT и DZ па­рал­лель­ны. Кроме того PO па­рал­лель­на DK, сле­до­ва­тель­но, плос­кость KDZ па­рал­лель­на плос­ко­сти CPT и KDZ  — вто­рая ин­те­ре­су­ю­щая нас плос­кость.

Вы­чис­лим объ­е­мы ча­стей:

Зна­чит, объем остав­шей­ся между плос­ко­стя­ми части равен:

Оста­лось найти объем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, все ребра ко­то­рой равны.

Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a. Тогда:

Пусть, далее, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По­лу­ча­ем:

В нашем слу­чае по­это­му:

Ответ: