РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 1096 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции , 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции

Задания на 9 баллов

Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в квадрате натуральный логарифм левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка минус 2.$

Решение. Возьмем производную данной функции:

$левая круглая скобка 2x в квадрате натуральный логарифм 2x минус 2 правая круглая скобка '=4x натуральный логарифм 2x плюс 2x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби умножить на левая круглая скобка 2x правая круглая скобка ' минус 0=$
$=4x натуральный логарифм 2x плюс 2x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби умножить на 2= 4x натуральный логарифм 2x плюс 2x=2x левая круглая скобка 2\ln левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 2x в квадрате натуральный логарифм 2x минус 2 правая круглая скобка '=4x натуральный логарифм 2x плюс 2x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби умножить на левая круглая скобка 2x правая круглая скобка ' минус 0=$
$=4x натуральный логарифм 2x плюс 2x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби умножить на 2=$
$= 4x натуральный логарифм 2x плюс 2x=2x левая круглая скобка 2\ln левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 2x в квадрате натуральный логарифм 2x минус 2 правая круглая скобка '=$
$=4x натуральный логарифм 2x плюс 2x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби умножить на левая круглая скобка 2x правая круглая скобка ' минус 0=$
$=4x натуральный логарифм 2x плюс 2x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби умножить на 2=$
$= 4x натуральный логарифм 2x плюс 2x=2x левая круглая скобка 2\ln левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка 2x в квадрате натуральный логарифм 2x минус 2 правая круглая скобка '=$
$=4x натуральный логарифм 2x плюс 2x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби умножить на левая круглая скобка 2x правая круглая скобка ' минус 0=$
$=4x натуральный логарифм 2x плюс 2x в квадрате умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби умножить на 2=$
$= 4x натуральный логарифм 2x плюс 2x=$
$=2x левая круглая скобка 2\ln левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка .$

Очевидно, что первый множитель положителен, иначе изначальная функция не определена. Исследуем теперь знак выражения $2\ln левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1:$

$2\ln левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1 больше 0 равносильно \ln левая круглая скобка 2x правая круглая скобка больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби равносильно x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби .$ $2\ln левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 1 больше 0 равносильно$
$равносильно \ln левая круглая скобка 2x правая круглая скобка больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби равносильно x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби .$

Отсюда видно, что при $x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби$ функция возрастает, при $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби$ убывает, при $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби$ имеет минимум, причем

$f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: 4e конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка минус 2= минус 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4e конец дроби ,$

а при $x меньше или равно 0$ вообще не определена.

Ответ: при $x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби$ функция возрастает, при $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби$ убывает, $x_min = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби ,$ $f_min = минус 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4e конец дроби .$

1096

при $x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби$ функция возрастает, при $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби$ убывает, $x_min = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби ,$ $f_min = минус 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4e конец дроби .$

Классификатор алгебры: 13.3. Монотонность и экстремумы функции , 13.4. Наибольшее и наименьшее значение функции

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1096	при $x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби$ функция возрастает, при $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби$ убывает, $x_min = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: e конец аргумента конец дроби ,$ $f_min = минус 2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4e конец дроби .$