РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 1105 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 7.3. Системы смешанного типа

Задания на 8 баллов

Решите систему уравнений $система выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =64 умножить на 2 в степени y , 2 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =16 . конец системы .$

Решение. Вычитая из верхнего уравнения нижнее, получим $64 умножить на 2 в степени y минус 16= минус 2 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка .$

Пусть $2 в степени y =t,$ тогда:

$64t минус 16= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно 64t в квадрате минус 16t плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 8t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$ $64t минус 16= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно 64t в квадрате минус 16t плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 8t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$

Вернёмся к исходной переменной:

$2 в степени y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно y= минус 3.$

Тогда первое уравнение сводится к

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =64 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =8 равносильно$
$равносильно x плюс 1=2 в степени 8 равносильно x=255.$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =64 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =8 равносильно$
$равносильно x плюс 1=2 в степени 8 равносильно x=255.$

Ответ: $левая круглая скобка 255; минус 3 правая круглая скобка .$

1105

$левая круглая скобка 255; минус 3 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 7.3. Системы смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

2.  Задание № 1115 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 7.3. Системы смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Задания на 8 баллов

Решите систему уравнений $система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =25 умножить на 5 в степени y , 5 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =10 . конец системы .$

Решение. Вычитая из верхнего уравнения нижнее, получим $25 умножить на 5 в степени y минус 10= минус 5 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка .$

Пусть $t = 5 в степени y ,$ тогда:

$25t минус 10= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно 25t в квадрате минус 10t плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$ $25t минус 10= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно 25t в квадрате минус 10t плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$

Вернёмся к исходной переменной:

$5 в степени y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби равносильно y= минус 1.$

Тогда первое уравнение сводится к

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =25 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =5 равносильно$
$равносильно x минус 2=3 в степени 5 равносильно x=245.$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =25 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =5 равносильно$
$равносильно x минус 2=3 в степени 5 равносильно x=245.$

Ответ: $левая круглая скобка 245; минус 1 правая круглая скобка .$

1115

$левая круглая скобка 245; минус 1 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 7.3. Системы смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1105	$левая круглая скобка 255; минус 3 правая круглая скобка .$
2	1115	$левая круглая скобка 245; минус 1 правая круглая скобка .$