РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 1107 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.11. Иррациональные уравнения, 6.2. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, 7.1. Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы кратных углов

Задания на 10 баллов

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $корень из: начало аргумента: синус 2 x минус 2 косинус 2 x конец аргумента = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x.$

Решение. Возведем уравнение в квадрат при условии $синус x больше или равно 0:$

$синус 2x минус 2 косинус 2x=2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x=0 равносильно косинус x левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, тангенс x=1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset синус x больше или равно 0\mathop равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 2x минус 2 косинус 2x=2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= косинус x конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, тангенс x=1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset синус x больше или равно 0\mathop равносильно$
$\underset синус x больше или равно 0\mathop равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 2x минус 2 косинус 2x=2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, тангенс x=1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset синус x больше или равно 0\mathop равносильно$
$\underset синус x больше или равно 0\mathop равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 2x минус 2 косинус 2x=2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= косинус x конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, тангенс x=1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset синус x больше или равно 0\mathop равносильно$
$\underset синус x больше или равно 0\mathop равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Нужно выбрать наибольший отрицательный корень, значит, $k меньше 0,$ причем для всех целых отрицательных k значения x будут отрицательными. Для наибольшего отрицательного корня необходимо $k= минус 1,$ тогда осталось выбрать между $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 Пи$ или $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 2 Пи .$ Ясно, что первое число больше.

Ответ: $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

1107

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы кратных углов

2.  Задание № 1117 Добавить в вариант

Задания на 10 баллов

Найдите наименьший положительный корень уравнения $корень из: начало аргумента: 2 косинус 2 x минус синус 2 x конец аргумента = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x.$

Решение. Возведем уравнение в квадрат при условии $косинус x больше или равно 0:$

$2 косинус 2x минус синус 2x=2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 2 синус x косинус x=2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно минус 2 синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус косинус x конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, тангенс x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset косинус x больше или равно 0\mathop равносильно$
$\underset косинус x больше или равно 0\mathop равносильно равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус синус 2x=2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 2 синус x косинус x=2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно минус 2 синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, тангенс x= минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset косинус x больше или равно 0\mathop равносильно$
$\underset косинус x больше или равно 0\mathop равносильно равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус синус 2x=2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 2 синус x косинус x=2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно минус 2 синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус косинус x конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, тангенс x= минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset косинус x больше или равно 0\mathop равносильно равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус синус 2x=2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка минус 2 синус x косинус x=2 косинус в квадрате x равносильно$
$равносильно минус 2 синус x косинус x минус 2 синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус косинус x конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, тангенс x= минус 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset косинус x больше или равно 0\mathop равносильно$
$\underset косинус x больше или равно 0\mathop равносильно равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=2 Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Нужно выбрать наименьший положительный корень, значит, $k больше 0,$ причем для всех целых положительных k значения x будут положительными. Для наименьшего положительного необходимо $k=1,$ тогда осталось выбрать между $2 Пи$ или $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи .$ Ясно, что первое число больше.

Ответ: $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

1117

$дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1107	$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$
2	1117	$дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$