РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 1147 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Задания на 10 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 8 x левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка .$

Решение. Заметим, что

$8x левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка =8x минус 8x в квадрате =$
$=2 минус 2 плюс 8x минус 8x в квадрате =2 минус 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 2,$ $8x левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка =8x минус 8x в квадрате =$
$=2 минус 2 плюс 8x минус 8x в квадрате =$
$=2 минус 2 левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 2,$

причем равенство достигается только при $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Заметим, что

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 2 плюс логарифм по основанию 2 x.$

Преобразуем неравенство при положительных x:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 4x равносильно 4x в квадрате плюс 1 больше или равно 4x равносильно$
$равносильно 4x в квадрате минус 4x плюс 1 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 4x равносильно$
$равносильно 4x в квадрате плюс 1 больше или равно 4x равносильно 4x в квадрате минус 4x плюс 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 4x равносильно$
$равносильно 4x в квадрате плюс 1 больше или равно 4x равносильно$
$равносильно 4x в квадрате минус 4x плюс 1 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 4x равносильно$
$равносильно 4x в квадрате плюс 1 больше или равно 4x равносильно$
$равносильно 4x в квадрате минус 4x плюс 1 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$

что верно, причем равенство возможно только при $x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, во-первых,

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 2 плюс логарифм по основанию 2 x больше или равно логарифм по основанию 2 x плюс 8x левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ,$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 2 плюс$
$плюс логарифм по основанию 2 x больше или равно логарифм по основанию 2 x плюс 8x левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка ,$

а во-вторых, равенство возможно только при $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Это и есть окончательный ответ.

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

1147

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

2.  Задание № 1157 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Задания на 10 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 18 x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 x правая круглая скобка плюс 6 x левая круглая скобка 2 минус 3 x правая круглая скобка .$

Решение. Заметим, что

$6x левая круглая скобка 2 минус 3x правая круглая скобка =12x минус 18x в квадрате =$
$=2 минус 2 плюс 12x минус 18x в квадрате =2 минус 2 левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 2,$ $6x левая круглая скобка 2 минус 3x правая круглая скобка =12x минус 18x в квадрате =$
$=2 минус 2 плюс 12x минус 18x в квадрате =$
$=2 минус 2 левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 2,$

причем равенство достигается только при $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Заметим, что

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 18x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 2 плюс логарифм по основанию 2 3x.$

Преобразуем неравенство при положительных x

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 18x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 12x равносильно 18x в квадрате плюс 2 больше или равно 12x равносильно$
$равносильно 18x в квадрате минус 12x плюс 2 больше или равно 0 равносильно 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 18x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 12x равносильно$
$равносильно 18x в квадрате плюс 2 больше или равно 12x равносильно$
$равносильно 18x в квадрате минус 12x плюс 2 больше или равно 0 равносильно 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 18x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 12x равносильно$
$равносильно 18x в квадрате плюс 2 больше или равно 12x равносильно$
$равносильно 18x в квадрате минус 12x плюс 2 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0,$

что верно, причем равенство возможно только при $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Значит, во-первых,

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 18x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 2 плюс логарифм по основанию 2 3x больше или равно логарифм по основанию 2 3x плюс 6x левая круглая скобка 2 минус 3x правая круглая скобка ,$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 18x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 2 плюс$
$плюс логарифм по основанию 2 3x больше или равно логарифм по основанию 2 3x плюс 6x левая круглая скобка 2 минус 3x правая круглая скобка ,$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 18x в квадрате плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 2 плюс$
$плюс логарифм по основанию 2 3x больше или равно логарифм по основанию 2 3x плюс$
$плюс 6x левая круглая скобка 2 минус 3x правая круглая скобка ,$

а во-вторых, равенство возможно только при $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ Это и есть окончательный ответ.

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$

1157

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1147	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$
2	1157	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$