Ре­ше­ние. Пусть O₁ и O₂  — цен­тры сфер, A  — точка, ле­жа­щая на линии их пе­ре­се­че­ния, H  — про­ек­ция A на пря­мую O₁O₂. Тогда тре­уголь­ник O₁O₂A имеет сто­ро­ны 3, 5, 6 и по­то­му опре­де­лен од­но­знач­но, то есть все такие тре­уголь­ни­ки равны друг другу. Зна­чит, в них во всех вы­со­та из вер­ши­ны A па­да­ет в одну и ту же точку H ос­но­ва­ния O₁O₂, по­это­му они все лежат в одной плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через H пер­пен­ди­ку­ляр­но от­рез­ку O₁O₂ и на одном и том же рас­сто­я­нии от точки H, рав­ном вы­со­те этого тре­уголь­ни­ка. На­о­бо­рот, любая точка на дан­ном рас­сто­я­нии от H в этой плос­ко­сти об­ра­зу­ет тре­уголь­ник с нуж­ны­ми сто­ро­на­ми, по­сколь­ку сто­ро­ны будут равны и Зна­чит, ис­ко­мая линия  — окруж­ность ра­ди­у­са AH. Оста­лось вы­чис­лить AH. Сде­ла­ем это, вы­ра­зив пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Ге­ро­на:

Зна­чит, длина окруж­но­сти со­став­ля­ет:

Ответ: