Найдите площадь поверхности правильного октаэдра, если расстояния между противолежащими вершинами равны 
Решение. Удобно представлять себе вершины правильного октаэдра как центры граней куба. Тогда из условия следует, что расстояние между противоположными центрами граней оно равно ребру куба, то есть 
Рассмотрим теперь ребро октаэдра — отрезок, соединяющий центры смежных граней куба. Пусть M, K, N — середины ребер A1B1, AB и CD соответственно. Пусть также O1 и O — центры граней 
и ABCD. Тогда OO1 — средняя линия треугольника KMN, поэтому 
Поскольку 
и A1M параллелен AK и DN, точки A1, M, N, D являются вершинами параллелограмма.
Итак,
Значит, поверхность октаэдра, состоящая из восьми равносторонних треугольников со стороной 
имеет площадь
Ответ: 