РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 1424 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми, 3.3. Правильная четырёхугольная пирамида

Задания на 7 баллов

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны. Найдите расстояние между диагональю основания AC и медианой DN диагонального сечения SBD, если ребро пирамиды $6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ см.

Решение. Заметим, что AC перпендикулярен BD и AC перпендикулярен SO, где O  — центр основания пирамиды. Значит, AC перпендикулярен плоскости BSD. Опустим теперь перпендикуляр OT на DN. Он будет лежать в плоскости BCD и потому будет перпендикулярен к AC. Значит, его длина и есть нужное расстояние.

Поскольку все ребра пирамиды равны, треугольники BSD и BAD равны по трём сторонам, следовательно, $\angle BSD=90 градусов$ и $SO=AO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC.$

Пусть H  — основание перпендикуляра из точки N на прямую BD. Тогда NH  — средняя линия треугольника SBO. Далее,

$BD= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента BA= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =12 см,$

тогда $BO = SO = 6 см,$ и $NH = 3 см.$

Значит, искомое расстояние равно:

$OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 18 плюс 72 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18 корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 90 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см .$ $OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3 умножить на 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 18 плюс 72 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18 корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 90 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см .$ $OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3 умножить на 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 18 плюс 72 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 18 корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 90 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см .$ $OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби =$
$= дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3 умножить на 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 18 плюс 72 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 18 корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 90 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см .$

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см .$

1424

$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см .$

2.  Задание № 1434 Добавить в вариант

Задания на 7 баллов

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны. Найдите расстояние между диагональю основания AC и медианой DN диагонального сечения SBD, если ребро пирамиды $4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ см.

Решение. Заметим, что AC перпендикулярен BD и AC перпендикулярен SO, где O  — центр основания пирамиды. Значит, AC перпендикулярен BSD. Опустим теперь перпендикуляр OT на DN. Он будет лежать в плоскости BCD и потому будет перпендикулярен к AC. Значит, его длина и есть нужное расстояние.

Поскольку все ребра пирамиды равны, треугольники BSD и BAD равны по третьему признаку, следовательно, $\angle BSD=90 градусов$ и $SO=AO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC.$

$BD= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента BA= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =8 см,$

тогда $BO=SO=4 см,$ и $NH=2 см.$

Значит, искомое расстояние равно:

$OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 8 плюс 32 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.$ $OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 умножить на 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 8 плюс 32 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.$ $OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 умножить на 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 8 плюс 32 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.$ $OT= дробь: числитель: 2S_NOD, знаменатель: ND конец дроби =$
$= дробь: числитель: NH умножить на OD, знаменатель: корень из: начало аргумента: NS в квадрате плюс SD в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 умножить на 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 8 плюс 32 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.$

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.$

1434

$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1424	$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 90 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см .$
2	1434	$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 40 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби см.$