Ре­ше­ние. Рас­смот­рим для на­ча­ла ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — тра­пе­цию ABCD. Она рав­но­бед­рен­ная, по­это­му углы при ее ос­но­ва­нии равны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на ос­но­ва­ние AD. Тогда в тре­уголь­ни­ке ABH по­лу­ча­ем

Ана­ло­гич­но,

От­ме­тим се­ре­ди­ну O боль­ше­го ос­но­ва­ния AD. Тогда тре­уголь­ник ABO рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку его вы­со­та BH сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной. Зна­чит, Ана­ло­гич­но, По­это­му все вер­ши­ны тра­пе­ции лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 3 с цен­тром в точке O. Зна­чит, это и есть окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са. Обо­зна­чим его вы­со­ту за h, тогда по усло­вию

от­ку­да

Пусть T  — вер­ши­на ко­ну­са, тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке TOA по­лу­ча­ем от­ку­да По­сколь­ку про­ек­ци­ей ребра TA на плос­кость слу­жит от­ре­зок OA, это и есть угол на­кло­на ребра к плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

Ясно, что для осталь­ных ребер тре­уголь­ни­ки по­лу­чат­ся та­ки­ми же. По­это­му у всех ребер на­клон оди­на­ко­вый.

Ответ: 45°.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим для на­ча­ла ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — тра­пе­цию ABCD. Она рав­но­бед­рен­ная, по­сколь­ку впи­са­на в окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са, по­это­му углы при ее ос­но­ва­нии равны. При этом Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на ос­но­ва­ние AD. Тогда в тре­уголь­ни­ке ABH по­лу­ча­ем Ана­ло­гич­но и

От­ме­тим се­ре­ди­ну O боль­ше­го ос­но­ва­ния AD. Тогда тре­уголь­ник ABO рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку его вы­со­та BH сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной. Зна­чит, Ана­ло­гич­но По­это­му все вер­ши­ны тра­пе­ции лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са с цен­тром в точке O. Зна­чит, это и есть окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са. Обо­зна­чим его вы­со­ту за h, тогда

Пусть T  — вер­ши­на ко­ну­са. По­сколь­ку про­ек­ци­ей ребра TA на плос­кость слу­жит от­ре­зок OA, это и есть угол на­кло­на ребра к плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке TOA по­лу­ча­ем от­ку­да

Ясно, что для осталь­ных ребер тре­уголь­ни­ки по­лу­чат­ся та­ки­ми же. По­это­му у всех ребер на­клон оди­на­ко­вый и не­важ­но, какое из них брать.

Ответ: