Ре­ше­ние. Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и AD  =  AB, тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ: