РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 866 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Задания на 9 баллов

Найдите наибольшее целое решение неравенства $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. Пусть $t = дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,$ тогда:

$логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 левая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно 2 логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно 0 меньше логарифм по основанию 3 t меньше 1 равносильно 1 меньше t меньше 3$ $логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 левая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно 2 логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно 0 меньше логарифм по основанию 3 t меньше 1 равносильно 1 меньше t меньше 3$ $логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 левая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно 0 меньше логарифм по основанию 3 t меньше 1 равносильно 1 меньше t меньше 3$ $логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 левая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно 0 меньше логарифм по основанию 3 t меньше 1 равносильно 1 меньше t меньше 3$

Вернёмся к исходным переменным:

$система выражений дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше 1, дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше 3 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше 0, дробь: числитель: минус 2x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше минус 1, совокупность выражений x меньше минус 2,x больше минус 1. конец системы . конец совокупности . равносильно x меньше минус 2.$ $система выражений дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше 1, дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше 0, дробь: числитель: минус 2x минус 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше минус 1, совокупность выражений x меньше минус 2,x больше минус 1. конец системы . конец совокупности . равносильно x меньше минус 2.$

Таким образом, наибольшее подходящее целое x равно − 3.

Ответ: $левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка .$

866

$левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены

2.  Задание № 876 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены

Задания на 9 баллов

Найдите наибольшее целое решение неравенства $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 2 конец дроби правая круглая скобка меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби правая круглая скобка$

Решение. Пусть $t = дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 2 конец дроби ,$ тогда:

$логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно 2 логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно 0 меньше логарифм по основанию 3 t меньше 1 равносильно 1 меньше t меньше 3$ $логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно 2 логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно 0 меньше логарифм по основанию 3 t меньше 1 равносильно 1 меньше t меньше 3$ $логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно 0 меньше логарифм по основанию 3 t меньше 1 равносильно 1 меньше t меньше 3$ $логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 5 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 логарифм по основанию 3 t меньше 0 равносильно$
$равносильно 0 меньше логарифм по основанию 3 t меньше 1 равносильно 1 меньше t меньше 3$

Вернёмся к исходной переменной:

$система выражений дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше 1, дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 2 конец дроби меньше 3 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: минус 4, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше 0, дробь: числитель: минус 2x минус 8, знаменатель: x плюс 2 конец дроби меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше минус 2, совокупность выражений x меньше минус 4,x больше минус 2 конец системы . конец совокупности . равносильно x меньше минус 4.$ $система выражений дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше 1, дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 2 конец дроби меньше 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: минус 4, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше 0, дробь: числитель: минус 2x минус 8, знаменатель: x плюс 2 конец дроби меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше минус 2, совокупность выражений x меньше минус 4,x больше минус 2 конец системы . конец совокупности . равносильно x меньше минус 4.$

Таким образом, наибольшее подходящее целое x равно − 5.

Ответ: $левая фигурная скобка минус 5 правая фигурная скобка .$

876

$левая фигурная скобка минус 5 правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	866	$левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка .$
2	876	$левая фигурная скобка минус 5 правая фигурная скобка .$