РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 926 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.9. Прочие логарифмические уравнения, 6.2. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, 7.1. Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 9 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = минус логарифм по основанию 9 2.$

Решение. Преобразуем уравнение, сразу отметив, что $синус x больше 0$ и $косинус x меньше 0.$

$дробь: числитель: логарифм по основанию 9 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 9 3 конец дроби минус логарифм по основанию 9 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = минус логарифм по основанию 9 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 9 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка , знаменатель: 1/2 конец дроби минус логарифм по основанию 9 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = минус логарифм по основанию 9 2 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 9 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 9 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = минус логарифм по основанию 9 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 9 левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 9 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 9 9= минус логарифм по основанию 9 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 9 левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 9 корень 4 степени из 9 плюс логарифм по основанию 9 2= логарифм по основанию 9 синус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 9 левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс логарифм по основанию 9 2= логарифм по основанию 9 синус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 9 синус x равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате x= синус x равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = синус x.$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 9 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 9 3 конец дроби минус логарифм по основанию 9 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = минус логарифм по основанию 9 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 9 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка , знаменатель: 1/2 конец дроби минус логарифм по основанию 9 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = минус логарифм по основанию 9 2 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 9 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 9 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = минус логарифм по основанию 9 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 9 левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 9 синус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 9 9= минус логарифм по основанию 9 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 9 левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 9 корень 4 степени из 9 плюс логарифм по основанию 9 2= логарифм по основанию 9 синус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 9 левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс логарифм по основанию 9 2= логарифм по основанию 9 синус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 9 синус x равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате x= синус x равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка = синус x.$

Пусть $t= синус x, t больше 0,$ тогда решим квадратное уравнение:

$2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка =t равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента t в квадрате плюс t минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно t= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 16 умножить на 3 конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно$
$равносильно t = дробь: числитель: минус 1\pm 7, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби \undersett больше 0\mathop равносильно t = дробь: числитель: 6, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно t = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$ $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка =t равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента t в квадрате плюс t минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно t= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 16 умножить на 3 конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно t = дробь: числитель: минус 1\pm 7, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби \undersett больше 0\mathop равносильно$
$\undersett больше 0\mathop равносильно t = дробь: числитель: 6, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно t = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$ $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка =t равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента t в квадрате плюс t минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно t= дробь: числитель: минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 16 умножить на 3 конец аргумента , знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно$
$равносильно t = дробь: числитель: минус 1\pm 7, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби \undersett больше 0\mathop равносильно$
$\undersett больше 0\mathop равносильно t = дробь: числитель: 6, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби равносильно t = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$

Имеем:

$синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset косинус x меньше 0\mathop равносильно$
$\underset косинус x меньше 0\mathop равносильно x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset косинус x меньше 0\mathop равносильно$
$\underset косинус x меньше 0\mathop равносильно x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

926

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

2.  Задание № 936 Добавить в вариант

Методы алгебры: Введение замены, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Решение. Преобразуем уравнение, сразу отметив, что $синус x меньше 0$ и $косинус x больше 0:$

$дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 2 конец дроби минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 4 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка , знаменатель: 1/2 конец дроби минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 1/2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 4 4=2 логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 4 конец аргумента = логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 2= логарифм по основанию 4 3 плюс логарифм по основанию 4 косинус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 3 косинус x равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x=3 косинус x равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка =3 косинус x$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 4 2 конец дроби минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 4 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка , знаменатель: 1/2 конец дроби минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 1/2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 4 4=2 логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 4 косинус x плюс логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 4 конец аргумента = логарифм по основанию 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 4 2= логарифм по основанию 4 3 плюс логарифм по основанию 4 косинус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 3 косинус x равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате x=3 косинус x равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка =3 косинус x$

Пусть $t= косинус x, t больше 0$ тогда решим квадратное уравнение

$2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка =3t равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ $2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка =3t равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ $2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка =3t равносильно$
$равносильно 2t в квадрате плюс 3t минус 2=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t= минус 2,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Имеем: $косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . \underset синус x меньше 0\mathop равносильно$
$\underset синус x меньше 0\mathop равносильно равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

936

$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Методы алгебры: Введение замены, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	926	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$
2	936	$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка .$