РЕШУ ЦТ — математика–11

Варианты заданий

1.  Задание № 986 Добавить в вариант

Задания на 9 баллов

Решите неравенство $\log в квадрате _5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка плюс 2\log в квадрате _5x\leqslant3 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x.$

Решение. Пусть $a = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка ,$ $b = логарифм по основанию 5 x.$ Имеем:

$a в квадрате плюс 2b в квадрате меньше или равно 3ab равносильно a в квадрате минус 3ab плюс 2b в квадрате меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2b правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $a в квадрате плюс 2b в квадрате меньше или равно 3ab равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 3ab плюс 2b в квадрате меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2b правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Таким образом, возвращаясь к исходной переменной, получаем неравенство

$левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x} правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Выражения $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка$ и $логарифм по основанию 5 x$ определены при положительных x. Найдем корни уравнения

и применим метод интервалов:

$система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 x, логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 x в квадрате , конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений 2x плюс 3 = x,2x плюс 3 = x в квадрате , конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений x = минус 3,x = 3,x = минус 1, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно x = 3.$ $система выражений совокупность выражений логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 x, логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 x в квадрате , конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений 2x плюс 3 = x,2x плюс 3 = x в квадрате , конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x = минус 3,x = 3,x = минус 1, конец системы . x больше 0 конец совокупности . равносильно x = 3.$

Получаем, что $x принадлежит левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Приведем другое решение.

Сразу отметим, что неравенство определено при $x больше 0.$ Перенесем все в одну часть, разложим на множители и воспользуемся методом рационализации:

$логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x плюс 2 логарифм по основанию 5 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x минус 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x плюс 2 логарифм по основанию 5 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 5 x левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2x плюс 3 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0.$ $логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x плюс 2 логарифм по основанию 5 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x минус 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 x плюс 2 логарифм по основанию 5 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 5 x левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2x плюс 3 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Сокращая на положительные множители, получаем $x минус 3 больше или равно 0,$ откуда $x больше или равно 3.$

2.  Задание № 996 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители, Метод рационализации

Задания на 9 баллов

Решите неравенство $логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5 x плюс 6 правая круглая скобка плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x.$

Решение. Заметим, что неравенство определено при $x больше 0.$ Перенесем все в одну часть, разложим на множители и воспользуемся методом рационализации. Тогда:

$логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5x плюс 6 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 6 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 5x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 6 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 6 правая круглая скобка больше или равно 0.$ $логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x минус 2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 x плюс 2 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 x левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x плюс 6 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5x плюс 6 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 6 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 5x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 6 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 6 правая круглая скобка больше или равно 0.$

Сокращая на положительные множители, получаем: $x минус 6 больше или равно 0,$ то есть $x больше или равно 6.$

Ответ: $левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

996

$левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 5.10. Прочие логарифмические неравенства

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители, Метод рационализации

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	996	$левая квадратная скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$