Объем конуса равен 81 см3. Высота его разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объем средней отсеченной части.
Пусть O — центр основания конуса, S — его вершина, O1 и O2 — точки, через которые проведены плоскости. Осевое сечение конуса представляет собой треугольник с проведенными двумя отрезками — диаметрами сечений конуса двумя плоскостями. Эти сечения представляют собой круги, а из подобия треугольников в осевом сечении следует, что их радиусы пропорциональны числам 1, 2, 3 (3 для изначального конуса).
Рассмотрим теперь три конуса с вершиной в S и основаниями — кругами (два сечения и изначальное основание). Пусть радиус изначального конуса равен а высота тогда его объем составляет
Аналогично, объем маленького конуса составляет а среднего поэтому объем средней части равен
Ответ: 21.