В правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания равна боковому ребру. Через медианы DK и CP смежных граней пирамиды проведены параллельные между собой плоскости. Найдите объем тела, ограниченного двумя данными плоскостями сечений, если сторона основания 
см.
Пусть O — середина отрезка BK. Тогда PO — средняя линия треугольника BDK, поэтому PO параллельна DK и, следовательно, DK параллельна плоскости PCO, поэтому PCO — одна из рассматриваемых плоскостей. Пусть прямая CO пересекает сторону AB в точке T, тогда PCT — сечение пирамиды данной плоскостью. По теореме Менелая для треугольника ABK и прямой TOC получаем:
Пусть Z — середина AT, тогда 
и 
тогда по теореме Фалеса прямые PT и DZ параллельны. Кроме того PO параллельна DK, следовательно, KDZ параллельна CPT и KDZ — вторая интересующая нас плоскость.
Вычислим объемы частей.
Значит, объем оставшейся между плоскостями части равен:
Осталось найти объем правильной пирамиды, все ребра которой равны. Пусть ребро пирамиды равно a. Тогда 
Пусть, далее, H — основание высоты пирамиды. Тогда 
По теореме Пифагора:
Тогда
В нашем случае 
поэтому окончательный ответ:
Ответ: 