В прямой треугольной призме стороны основания 15 см, 15 см и 18 см, а боковое ребро 12 см. Найдите расстояние между равными скрещивающимися диагоналями боковых граней.
Пусть у призмы ABCA1B1C1 AA1 = 12, AC = CB = 15, AB = 18. Достроим равнобедренный треугольник ACB до ромба ACBD. Тогда AD параллельна BC и плоскости B1C1 и AD = BC = B1C1, поэтому точки A, D, B1, C1 являются вершинами параллелограмма и AC1 параллельна DB1. Значит,
Пусть M — середина AB и середина CD. Опустим перпендикуляр AT на прямую MB1 и докажем, что это и есть нужное расстояние. В самом деле, AB перпендикулярна CD, как диагонали ромба, BB1 перпендикулярна CD поскольку BB1 перпендикулярна плоскости ABC, значит, CD перпендикулярна плоскости AA1B1B, а A1T лежит в AA1B1B. Итак, AT перпендикулярна CD и AT перпендикулярна MB1. Значит,
Ответ: