РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 1427 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.18. Усечённый конус, 3.19. Шар, 3.23. Комбинации круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Задания на 10 баллов

В усеченный конус вписан шар. Найдите отношение площади поверхности шара к площади боковой поверхности конуса, если образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°.

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем будет равнобедренная трапеция с углом 30° при основании. Опустим перпендикуляр A₁T на сторону AB. С одной стороны, из прямоугольного треугольника AA₁T он равен $A_1T=AA_1 синус 30 градусов ,$ с другой стороны, он равен диаметру вписанной окружности четырехугольника AA₁B₁B, то есть $2r=AA_1 синус 30 градусов .$ Значит, площадь поверхности шара равна:

$S_п.ш. = 4 Пи r в квадрате = Пи левая круглая скобка 2r правая круглая скобка в квадрате = Пи синус в квадрате 30 градусов умножить на AA_1 в квадрате .$

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна

$S_б.п.ц.= Пи левая круглая скобка A_1H_1 плюс AH правая круглая скобка AA_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи левая круглая скобка A_1B_1 плюс AB правая круглая скобка AA_1=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи левая круглая скобка AA_1 плюс BB_1 правая круглая скобка AA_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи умножить на 2AA_1 умножить на AA_1= Пи умножить на AA_1 в квадрате .$ $S_б.п.ц.= Пи левая круглая скобка A_1H_1 плюс AH правая круглая скобка AA_1=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи левая круглая скобка A_1B_1 плюс AB правая круглая скобка AA_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи левая круглая скобка AA_1 плюс BB_1 правая круглая скобка AA_1=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи умножить на 2AA_1 умножить на AA_1= Пи умножить на AA_1 в квадрате .$

Значит, искомое отношение равно:

$дробь: числитель: S_п.ш., знаменатель: S_б.п.ц. конец дроби = дробь: числитель: Пи синус в квадрате 30 градусов AA_1 в квадрате , знаменатель: Пи AA_1 в квадрате конец дроби = синус в квадрате 30 градусов = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: 1 : 4.

1427

1 : 4.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1427	1 : 4.