Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1427
i

В усе­чен­ный конус впи­сан шар. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди по­верх­но­сти шара к пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са, если об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. В нем будет рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с углом 30° при ос­но­ва­нии. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр A1T на сто­ро­ну AB. С одной сто­ро­ны, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AA1T он равен A_1T=AA_1 синус 30 гра­ду­сов , с дру­гой сто­ро­ны, он равен диа­мет­ру впи­сан­ной окруж­но­сти че­ты­рех­уголь­ни­ка AA1B1B, то есть 2r=AA_1 синус 30 гра­ду­сов . Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна:

S_п.ш. = 4 Пи r в квад­ра­те = Пи левая круг­лая скоб­ка 2r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = Пи синус в квад­ра­те 30 гра­ду­сов умно­жить на AA_1 в квад­ра­те .

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са равна

S_б.п.ц.= Пи левая круг­лая скоб­ка A_1H_1 плюс AH пра­вая круг­лая скоб­ка AA_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби Пи левая круг­лая скоб­ка A_1B_1 плюс AB пра­вая круг­лая скоб­ка AA_1=
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби Пи левая круг­лая скоб­ка AA_1 плюс BB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка AA_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби Пи умно­жить на 2AA_1 умно­жить на AA_1= Пи умно­жить на AA_1 в квад­ра­те .

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно:

дробь: чис­ли­тель: S_п.ш., зна­ме­на­тель: S_б.п.ц. конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи синус в квад­ра­те 30 гра­ду­сов AA_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: Пи AA_1 в квад­ра­те конец дроби = синус в квад­ра­те 30 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: 1 : 4.


Аналоги к заданию № 1427: 1437 Все

Классификатор алгебры: 3.18. Усечённый конус, 3.19. Шар, 3.23. Ком­би­на­ции круг­лых тел, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025