РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 160 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.13. Прочие прямые призмы, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Использование тригонометрии, Теорема косинусов

Задания на 10 баллов

Основание прямой призмы  — равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании $альфа .$ Диагональ боковой грани, содержащей основание треугольника, образует с боковым ребром угол $бета .$ Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму.

Решение. Введём обозначения (см. рис.). Пусть BC  =  x, тогда по теореме косинусов в треугольнике ABC имеем

$b в квадрате =b в квадрате плюс x в квадрате минус 2 умножить на b умножить на x умножить на косинус альфа равносильно x=2b косинус альфа .$ $b в квадрате =b в квадрате плюс x в квадрате минус 2 умножить на b умножить на x умножить на косинус альфа равносильно$
$равносильно x=2b косинус альфа .$

Используя формулы площади треугольника $S=pr$ и $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа b c$ получаем

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус альфа умножить на b умножить на 2b косинус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка b плюс b плюс 2b косинус альфа правая круглая скобка r равносильно$

$равносильно b в квадрате синус альфа косинус альфа =b левая круглая скобка 1 плюс косинус альфа правая круглая скобка r равносильно r= дробь: числитель: b синус альфа косинус альфа , знаменатель: косинус альфа плюс 1 конец дроби .$ $равносильно b в квадрате синус альфа косинус альфа =b левая круглая скобка 1 плюс косинус альфа правая круглая скобка r равносильно$
$равносильно r= дробь: числитель: b синус альфа косинус альфа , знаменатель: косинус альфа плюс 1 конец дроби .$

Далее найдём высоту призмы, которая также является высотой цилиндра. В прямоугольном треугольнике BCC₁ $CC_1=\ctg бета BC,$ то есть $CC_1=\ctg бета умножить на 2b косинус альфа .$ Используя формулу площади боковой поверхности цилиндра имеем

$S=\ctg бета умножить на 2b косинус альфа умножить на 2 умножить на Пи умножить на дробь: числитель: b синус альфа косинус альфа , знаменатель: косинус альфа плюс 1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4b в квадрате Пи косинус в квадрате альфа синус альфа \ctg бета , знаменатель: косинус альфа плюс 1 конец дроби .$ $S=$
$=\ctg бета умножить на 2b косинус альфа умножить на 2 умножить на Пи умножить на дробь: числитель: b синус альфа косинус альфа , знаменатель: косинус альфа плюс 1 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 4b в квадрате Пи косинус в квадрате альфа синус альфа \ctg бета , знаменатель: косинус альфа плюс 1 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 4b в квадрате Пи косинус в квадрате альфа синус альфа \ctg бета , знаменатель: косинус альфа плюс 1 конец дроби .$

160

$дробь: числитель: 4b в квадрате Пи косинус в квадрате альфа синус альфа \ctg бета , знаменатель: косинус альфа плюс 1 конец дроби .$

Методы алгебры: Использование тригонометрии, Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	160	$дробь: числитель: 4b в квадрате Пи косинус в квадрате альфа синус альфа \ctg бета , знаменатель: косинус альфа плюс 1 конец дроби .$