Основание пирамиды — ромб с углом 45°. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус вписанной в ромб окружности равен см.
Пусть данные задачи изображены на рисунке (см. рис).
Так как боковые грани пирамиды наклонены под одинаковым углом к плоскости основания, высота SO пирамиды падает в центр вписанной в ромб ABCD окружности (точка O также является точкой пересечения диагоналей ромба).
Пусть высота ромба равна h см, а сторона x см. Так как высота равна двум радиусам вписанной окружности, Выразим площади ромба, найдём x:
Проведём апофему SH, перпендикуляр OH к стороне CD. Угол SHO — линейный угол двугранного угла, он равен 60°. В прямоугольном треугольнике SHO катет OH лежит против угла величиной 30°, поэтому Найдём площадь S боковой поверхности исходной пирамиды:
Ответ: