РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 239 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5.8. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Группировка, разложение на множители, Метод интервалов

Задания на 9 баллов

Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x в квадрате минус 5x минус 4 правая круглая скобка \leqslant3.$

Решение. Преобразуем выражение:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x в квадрате минус 5x минус 4 правая круглая скобка \leqslant3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка \leqslant3 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка |x плюс 1| плюс логарифм по основанию левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус 2\leqslant0 \underset минус 4 меньше x меньше минус 1\mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби минус 2\leqslant0.$ $равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка |x плюс 1| плюс логарифм по основанию левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус 2\leqslant0 \underset минус 4 меньше x меньше минус 1\mathop равносильно$
$\underset минус 4 меньше x меньше минус 1\mathop равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби минус 2\leqslant0.$

Пусть $t = логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка ,$ тогда:

$t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 2t плюс 1, знаменатель: t конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t=1,t меньше 0. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной, решим уравнение совокупности:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно система выражений x плюс 4 больше 0, x плюс 4 не равно 1, минус x минус 1 больше 0, минус x минус 1=x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений минус 4 меньше x меньше минус 1, x не равно минус 3,x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно система выражений x плюс 4 больше 0, x плюс 4 не равно 1, минус x минус 1 больше 0, минус x минус 1=x плюс 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 4 меньше x меньше минус 1, x не равно минус 3,x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец системы .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно система выражений x плюс 4 больше 0, x плюс 4 не равно 1, минус x минус 1 больше 0, минус x минус 1=x плюс 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 4 меньше x меньше минус 1, x не равно минус 3,x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец системы .$

$равносильно x = минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Теперь решим неравенство совокупности:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений система выражений x плюс 4 больше 1,0 меньше минус x минус 1 меньше 1, конец системы . система выражений 0 меньше x плюс 4 меньше 1, минус x минус 1 больше 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше минус 3, минус 2 меньше x меньше минус 1, конец системы . система выражений минус 4 меньше x меньше минус 3,x меньше минус 2 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше минус 1, минус 4 меньше x меньше минус 3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений система выражений x плюс 4 больше 1,0 меньше минус x минус 1 меньше 1, конец системы . система выражений 0 меньше x плюс 4 меньше 1, минус x минус 1 больше 1 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x больше минус 3, минус 2 меньше x меньше минус 1, конец системы . система выражений минус 4 меньше x меньше минус 3,x меньше минус 2 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше минус 1, минус 4 меньше x меньше минус 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка .$

239

$левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 5.8. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	239	$левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка .$